E6 Übungsblatt 10
Author
Jean Amadeus Elsner
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
Experimentalphysik 6: Festkörperphysik
Experimentalphysik 6: Festkörperphysik
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{E6: Festkörperphysik}
\rhead{Übungsblatt 10}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{27}
\item \textbf{Mittlere Energie-Zustandssumme}\\
Wie hängt die mittlere Energie eines Systems von seiner Zustandssume $Z$ ab, wenn $Z$ definiert wird durch
\begin{align*}
Z &= \int_x\int_p e^{-E(p,x)/k_BT}\dd{p}\dd{x}
\end{align*}
Außerdem gilt
\begin{align*}
\pdv{T}\ln{Z} &= \frac{1}{k_BT^2}\expval{E}\\
\expval{E} &= \frac{1}{Z}\int_x\int_p E(p,x) e^{-E(p,x)/k_BT}\dd{p}\dd{x}
\end{align*}
\item \textbf{Einstein- und Debye Modell}\\
Neben dem Debye-Modell liefert das Einstein-Modell eine weitere Beschreibung der Phononendispersion in Festkörpern.
\begin{enumerate}
\item Machen Sie sich mit beiden Modellen vertraut und beschreiben Sie die Unterschiede.\\
Beides Modelle haben gemeinsam:
\begin{itemize}
\item Hochtemperatur-Limes $c = 3Nk_B$
\item Schwingungsenergie auf $3N$ Oszillatoren aufgeteilt
\item Bose-Einstein Verteilung (Phononen als Bosonen)
\end{itemize}
Unterschiede in den zugeordneten Frequenzen:\\
\\
\begin{tabular}{p{7cm} p{8cm}}
\textit{Einstein} & \textit{Debye}\\
gleiche charakteristische Frequenz $\omega_0\, \forall\, 3N$ Oszillatoren & $3N$ niedrigsten Frequenzen, welche periodische Randbedingungen erfüllen, insbesondere bezeichne $\omega_{\mathrm{max}}$ die größte charakteristische Frequenz\\
\end{tabular}
\item Begründen Sie warum beide Modelle denselben Hochtemperaturgrenzwert für die spezifische Wärmekapazität liefern (Dulong-Petitscher Grenzwert).\\
\\
Im Hochtemperaturlimit spielt die genaue Verteilung der charakteristischen Frequenzen keine Rolle, solange es eine maximale Frequenz gibt. Wenn die thermische Energie $k_BT$ viel größer als die charakteristische Energie $\hbar\omega$ ist, liefert die Bose Verteilung die Energie $k_BT$ für den harmonischen Oszillator, die insbesondere unabhängig von $\omega$ ist. Wenn also $k_BT \gg \hbar\omega_0$ und $k_BT \gg \hbar\omega_{\mathrm{max}}$, liefert sowohl das Einstein Modell als auch die Debye Theorie die Schwingungsenergie $U_s = 3N k_BT$ und den Dulong-Petitschen Wert fur die Wärmekapazität $c=3Nk_B$.
\item Ein Probenhalter bestehend aus Kupfer zur Vermessung der spezifischen Wärme verschiedener Materialien wiege $\SI{1}{\gram}$. Wie groß ist der Hochtemperaturgrenzwert der spezifischen Wärme des Halters?
\begin{align*}
c\qty(\SI{1}{\gram}\,\ce{Cu}) &= 3N\qty(\SI{1}{\gram}\,\ce{Cu})k_B\\
N\qty(\SI{1}{\gram}\,\ce{Cu}) &= \frac{N_A}{u_{\mathrm{Cu}}}=\num{9.47e21}\\
\Rightarrow c\qty(\SI{1}{\gram}\,\ce{Cu}) &= \SI{0.392}{\joule\per\kelvin}
\end{align*}
\end{enumerate}
\item \textbf{Zustandsdichte von Phononen}\\
Betrachten Sie eine eindimensionale lineare Kette von identischen Massepunkten der Länge $L$. Unter Berücksichtigung der Wechselwirkung nächster Nachbarn (Kraftoknstante $C$, Punktmasse $M$, Gitterkonstante $a$) erhält man die Dispersionrelation:
\begin{align*}
\omega^2 &= \qty(2C/M)\qty(1-\cos(ka))
\end{align*}
oder
\begin{align*}
\omega &= \sqrt{4C/M}\abs{\sin(ka/2)} = \omega_{\mathrm{max}}\abs{\sin(ka/2)}
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie die Zustandsdichtefunktion $g(\omega)$ longitudinaler Phononen.\\
\textit{Hinweis:} Im eindimensionalen Fall gilt $g(k)=L/\pi$.
\begin{align*}
k &= \frac{2}{a}\arcsin(\frac{\omega}{\omega_{\mathrm{max}}})\\
\dv{k}{\omega} &= \frac{2}{a}\frac{1}{\sqrt{\omega_{\mathrm{max}}^2-\omega^2}}\\
g(\omega)\dd{\omega} &= g(k)\dd{k}\\
\Leftrightarrow g(\omega) &= g(k)\cdot\dv{k}{\omega} = \frac{L}{\pi}\frac{2}{a}\frac{1}{\sqrt{\omega_{\mathrm{max}}^2-\omega^2}}
\end{align*}
\item Skizzieren Sie das Ergebnis und vergleichen Sie die Zustandsdichtefunktion mit der, die sich aus der Debye'schen Kontinuumsnäherung ($\omega=vk$) ergibt.
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{03.png}
\caption{Zustandsdichten}
\end{figure}
\begin{align*}
g_{\mathrm{(Debye)}}(\omega) &= \frac{L}{\pi v}
\end{align*}
\item Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Maximalfrequenz $\omega_{\mathrm{max}}$ des Phononenspektrums der linearen Kette und der Grenzfrequenz $\omega_D$ aus der Debye'schen Kontinuumsnäherung? Berücksichtigen Sie dafür, dass die Zahl der Normalschwingeungen $N$ in beiden Fällen übereinstimmen muss:
\begin{align*}
N &= \int_0^{\omega_{\mathrm{max}}}g_{(\mathrm{lin})}(\omega)\dd{\omega}=\int_0^{\omega_D}g_{(\mathrm{Debye})}(\omega)\dd{\omega}
\end{align*}
\begin{align*}
\qty[\frac{2L}{a\pi}\arcsin(\frac{\omega}{\omega_{\mathrm{max}}})]_0^{\omega_{\mathrm{max}}} &= \qty[\frac{L}{\pi v}\omega]_0^{\omega_D}\\
\frac{L}{a} &= \frac{L\omega_D}{\pi v}
\end{align*}
Was ist $v$? Grenzfall $\omega \rightarrow 0$
\begin{align*}
\frac{2L}{a\pi\omega_{\mathrm{max}}} &= \frac{L}{\pi v}\\
\Leftrightarrow v &= \frac{a}{2}\omega_{\mathrm{max}}\\
\Leftrightarrow \omega_D &= \frac{\pi}{2}\omega_{\mathrm{max}}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}