A test feletti polinomok maradékos osztásáról szóló tétel bizonyítása. (Az SZTE matematika alapszak Algebra és számelmélet (MBNK13) kurzusához házi feladat.)
\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{nopageno}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem*{tetel}{T\'etel}
\renewcommand{\proofname}{Biz.}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\newcommand{\idemitirjak}{\makebox[2cm]{\dotfill}}
\begin{document}
\renewcommand{\baselinestretch}{2.0} \bigskip
\begin{tetel}[a maradékos osztás tétele]
Ha $f,g\in T[x]$, és $g\neq0$, akkor léteznek olyan egyértelműen meghatározott
$q,r\in T[x]$ polinomok, amelyekre $f=qg+r$ és $\deg r < \deg g$.
\end{tetel}
\begin{proof}
Először az egzisztenciát bizonyítjuk.
Legyen $g = b_{\ell}x^{\ell} + \dots + b_{1}x + b_{0},$ ahol $b_{\ell} \neq 0$
(tehát $g$ fokszáma $\ell$).
Tekintsük az $M=\{ f-qg \mid q\in T[x] \}$ halmazt, és legyen
$r_{0} = a_{k}x^{k} + \dots + a_{1}x + a_{0}$ az $M$ halmaz
legkisebb fokszám\'{u} eleme (ahol szokás szerint $a_{k}\neq0$).
Célunk megmutatni, hogy $\idemitirjak$.
Indirekt módon bizonyítunk, azaz feltesszük, hogy $\idemitirjak$.
Jelölje $q_{1}$ az $\idemitirjak$ polinomot (az ilyen polinomot, mivel csak
egy tagból áll, szokás \emph{monomnak} nevezni).
Ekkor az
\[
r_{1} := r_{0} - q_{1}g =
a_{k}x^{k} + a_{k-1}x^{k-1} + \dots + a_{0}
- ( a_{k}x^{k} + a_{k}b_{\ell}^{-1}b_{\ell-1}x^{k-1} + \dots
+ a_{k}b_{\ell}^{-1}b_{0}x^{k-\ell} )
\]
polinom foka kisebb, mint $\idemitirjak$.
Mivel $r_{0} \in M$, létezik olyan $q_{0} \in T[x]$ polinom,
amelyre $r_{0} = \idemitirjak$.
Ebből következik, hogy $r_{1} = f - (\idemitirjak)\cdot g$,
azaz $r_{1} \in \idemitirjak$.
Ez pedig ellentmond $r_{0}$ választásának, hiszen $\idemitirjak < \deg r_{0}$.
Az unicitás igazolásához tegyük fel, hogy
$f = q_{1}g + r_{1} = q_{2}g + r_{2}$, ahol $\deg r_{1},\deg r_{2} < \deg g$.
Célunk megmutatni, hogy $\idemitirjak$ és $\idemitirjak$.
A fokszámokra feltett egyenlőtlenségből következik, hogy
$\deg( r_{2} - r_{1} ) < \idemitirjak$.
Másrészt átrendezéssel kapjuk, hogy
$( q_{1} - q_{2} ) \cdot g = \idemitirjak$,
tehát
\[
\deg(\idemitirjak) + \deg\idemitirjak = \deg(\idemitirjak).
\]
Tudjuk, hogy itt a jobb oldal kisebb, mint $\idemitirjak$, ezért
$\deg( q_{1} - q_{2} ) < \idemitirjak$.
Ez csak \'{u}gy lehet, hogy $\deg( q_{1} - q_{2} ) = \idemitirjak$,
azaz $\idemitirjak$, ebből pedig már rögtön
következik az is, hogy $\idemitirjak$, és épp ezt kellett bizonyítanunk.
\end{proof}
\bigskip
\end{document}