Neste artigo apresentamos a segunda parte do nosso trabalho em Modelagem 3
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\documentclass{beamer}
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\title[EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS (EDP) EM MODELAGEM MATEMÁTICA COMPUTACIONAL]{EQUA\c{C}\~{O}ES DIFERENCIAIS PARCIAIS (EDP) EM MODELAGEM MATEM\'{A}TICA COMPUTACIONAL}
\subtitle{"Segunda Parte"}
\author{ARMAND AZONNAHIN}
\institute{UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL}
\date{\today}
\begin{document}
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
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\begin{frame}{Conteúdo}
\tableofcontents
\end{frame}
\section{Introdução}
\begin{frame}{Introduzindo }
\begin{itemize}
\item Para o Projeto da Estimativa da Qualidade do Ar tivemos que combinar os dois Mecanismos. Obtivemos a Equa\c{c}\~{a}o de Advec\c{c}\~{a}o - Difus\~{a}o :
\begin{equation}
\frac{\partial c}{\partial t } + U \frac{\partial c}{\partial x } =\kappa\frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2} } ,
\end{equation}
com a condi\c{c}\~{a}o inicial
\begin{equation}
c(x,0)=c_{0}(x) .
\end{equation}
\pause
\item Note que se fizermos $U=0$, "desligamos" o Transporte , enquanto que se fizermos $\kappa =0$, "desligamos" a Difus\~{a}o .
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Introduzindo}
\begin{itemize}
\item Com esses dois Par\^{a}metros controlamos os dois Mecanismos considerados no Modelo F\'{i}sico .
\pause
\item Nesta segunda parte do nosso Trabalho , vamos usar duas expans\~{o}es en s\'{e}rie de Taylor para fazer as aproxima\c{c}\~{o}es necess\'{a}rias para formularmos um Modelo N\'{u}merico para a resolu\c{c}\~{a}o da EDP dada acima .
\end{itemize}
\end{frame}
\section{Solução da EDP via Método Explícito}
\begin{frame}{Resolvendo a EDP}
\begin{itemize}
\item Usando série de Taylor no tempo,temos que: \vspace{0.4cm}
$\frac{\partial c}{\partial t }(j\Delta x,n\Delta t)= \frac{c(j\Delta x,(n+1)\Delta t)-c(j\Delta x,n\Delta t)}{\Delta t } =\frac{c_{j}^{n+1}-c_{j}^{n}}{\Delta t } $ \vspace{0.2cm}
\pause
\item enquanto que no espaço: \vspace{0.4cm}
$\frac{\partial c}{\partial x }(j\Delta x,n\Delta t)= \frac{c(j\Delta x,n\Delta t)-c((j-1)\Delta x,n\Delta t)}{\Delta x } =\frac{c_{j}^{n}-c_{j-1}^{n}}{\Delta x } $
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Resolvendo a EDP }
\begin{itemize}
\item Agora usando duas séries de Taylor (uma para frente e outra para trás) podemos escrever que:
\begin{equation}
\frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2} }(j\Delta x,n\Delta t)= \frac{1}{\Delta x^{2} }(c_{j+1}^{n}-2c_{j}^{n}+c_{j-1}^{n})
\end{equation}
\pause
\item Usando estas aproximações na equação de advecção-difusão obtemos:
\begin{equation}
c_{j}^{n+1}=c_{j}^{n}-\frac{U\Delta t}{\Delta x}(c_{j}^{n}-c_{j-1}^{n})+\kappa \frac{\Delta t}{\Delta x^{2} }(c_{j+1}^{n}-2c_{j}^{n}+c_{j-1}^{n}) .
\end{equation}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Resolvendo a EDP }
\begin{itemize}
\item Este é o Modelo Numérico (Explícito) !
\item Façamos alguns experimentos numéricos para testar e nos sentirmos mais confiantes com respeito ao código escrito.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Primeiro Experimento }
\begin{itemize}
\item No primeiro experimento desligamos a difusão (colocando $\kappa =0$) e testamos apenas a parte de transporte.Usamos como dados $U=1$ e $\Delta t=\Delta x=0,1$; a concentração inicial do poluente é $\alpha =1,0$. Neste exemplo,adotamos para pontos extremos da nuvem $x=1$ e $x=2$,respectivamente.
\item Note que o espaçamento espacial e temporal é tal que não violamos a condição CFL. O resultado pode ser visto no gráfico. Na verdade, estamos usando a relação ótima, no sentido em que a velocidade numérica é igual à velocidade de transporte $U$.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Segundo Experimento }
\begin{itemize}
\item Façamos agora um teste no qual a velocidade numérica é duas vezes maior do que $U$, para percebermos (graficamente) que neste caso ocorre um mecanismo (espúrio) de difusão numérica.
\item Este experimento ilustra o que chamamos de um \bf{Fenômeno Numérico Espúrio},pois este Fenômeno não é legítimo do modelo estudado.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Terceiro Experimento }
\begin{itemize}
\item Apresentamos agora um exemplo no qual temos um pouco de difusão: o valor adotado é $\kappa=0,1$. Os outros dados são idênticos aos do experimento anterior. O que vemos agora é um exemplo de instabilidade numérica.
\item O pulso quadrado foi completamente degradado pelo crescimento exponencial de componentes do erro de arredondamento. Note que no intervalo de tempo considerado, o crescimento levou alguns pontos da solução a ficarem da ordem de $10^{19}$. No jargão do matemático computacional, dizemos que a solução numérica "explodiu"!
\end{itemize}
\end{frame}
\section{Solução da EDP via Método Implícito}
\begin{frame}{ Método de Crank-Nicolson }
\begin{itemize}
\item Para melhorar a solução numérica, a boa alternativa é usar um método implícito do tipo Crank-Nicolson que, pode-se mostrar, é incondicionalmente estável. Em outras palavras, temos que escolher o passo no tempo usando apenas um critério de precisão, e não um de estabilidade.
\pause
\item O método implícito é dado por: \vspace{0.4cm}
\\
$c_{j}^{n+1}=c_{j}^{n}-\frac{U\Delta t}{\Delta x}(c_{j}^{n}-c_{j-1}^{n})+\kappa \frac{\Delta t}{\Delta x^{2} }[\frac{1}{2}(c_{j+1}^{n+1}-2c_{j}^{n+1}+c_{j-1}^{n+1})+\frac{1}{2}(c_{j+1}^{n}-2c_{j}^{n}+c_{j-1}^{n})]$ .
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{ Método de Crank-Nicolson }
\begin{itemize}
\item Dentro da metodologia de depuração e validação de um código, iniciamos os experimentos com o método implícito testando \bf{exatamente} a parte nova do esquema numérico. Para isso desligamos o transporte, fazendo $U=0$. Assim, testamos apenas a parte de difusão e, consequentemente, o Método de Crank-Nicolson.
\item Isto pode ser visto no gráfico, onde usamos $\kappa=0,3$. Note que a concentração vai baixando gradativamente mas a nuvem não se move. Note também que a nuvem vai se espalhando.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{ Método de Crank-Nicolson }
\begin{itemize}
\item Agora ligamos o transporte (vento) e apresentamos a evolução da solução numérica no caso em que $U=1, \kappa=0,3, \Delta x=0,1, \Delta t=0,05$ e a nuvem começando em $x=1$ e terminando em $x=2$.
\item Conforme a onda (neste caso a nuvem) propaga para a direita vemos o efeito da difusão. A concentração máxima baixa de $1$ para aproximadamente $0,25$ e a nuvem ocupa uma área muito maior.
\end{itemize}
\end{frame}
\section{Conclusão}
\begin{frame}{Concluindo }
\begin{itemize}
\item Note que a concentração de poluente baixou em $75\%$! Agora seria o momento de consultar um especialista em Engenharia Ambiental para saber se essa queda de concentração do dito poluente está num nível satisfatório ou não.
\item Na figura a seguir mostramos uma representação tridimensional da evolução da nuvem.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Refer\^{e}ncias }
\begin{itemize}
\item Andr\'{e}, N. e Esteban ,T.,(1997),$ 21^{°}$Col\'{o}quio Brasileiro de Matem\'{a}tica , IMPA,Rio de Janeiro.
\item Friedman,A. and Littman,W.(1994),Industrial Mathematics,A Course in Solving Real-World Problems, SIAM.
\item Hirsh,M.W. and Smale,S. (1974), Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Agradecimentos}
\begin{center}
{\Huge Obrigado pela Aten\c{c}\~{a}o !}
\end{center}
\end{frame}
\end{document}