\textbf{Trabalho de Sinais e Sistemas

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage[brazilian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{eucal}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{indentfirst}
\pagestyle{fancy}
\usepackage{listings}


\title{\textbf{Trabalho de Sinais e Sistemas}}

\author{João Paulo Cavalcante de Vasconcelos - 36291}

\date{\today}

\begin{document}
\maketitle

\begin{abstract}
Your abstract.
\end{abstract}


\section{\boldmath $\boldmath y(t) = x(t)*x(t-1)$ é Linear?}

Para que o sinal seja linear ele precisa obedecer a superposição (homogeniedade e aditividade)

Ou seja: $ \alpha _1 x_1(t) + \alpha _2 x_2(t) \rightarrow \alpha _1 y_1(t) \alpha _2 y_2(t)$

Considerando: $y_1(t) = x_1(t)*x_1(t-1)$ e $ y_2(t) = x_2(t)*x_2(t-1)$

Multiplicando por $\alpha$ e somando as equações, temos: $$\alpha _1 x_(t)\alpha _1x(t-1) + \alpha _2x_2(t)\alpha _2 x_2(t-1)$$ $$\alpha _1 ^2 x_1(t)x_1(t-1) + \alpha _2 ^2 x_2(t)x_2(t-1) =\alpha _1 ^2 y_1(t) + \alpha _2 ^2  y_2(t) \neq \alpha _1 y_1(t) + \alpha _2  y_2(t)$$
%%$$\alpha _1 ^2 y_1(t) + \alpha _2 ^2 y_2(t) \neq \alpha _1 y_1(t) + \alpha _2y_2(t)$$

\begin{center}
Logo, não é linear.
\end{center}

\section{Plotar o gráfico de convolução de \boldmath $\alpha ^n u[n] $ e \boldmath $u[n] $}

Seja: $h[n] = u[n]$ e $x[n]= \alpha ^n u[n]$
$$y[n] = x[n]*h[n]$$
$$y[n] = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} u[k]\alpha ^k u[n-k]$$
Analisando esse somatório observamos que seus limites podem ser simplificados para $k = 0$ até $k = n$, logo temos:
$$y [n] \sum_{k=0}^{n} \alpha ^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} \alpha ^n \alpha^{-k} =  \alpha ^n \sum_{k=0}^{n} \alpha ^{-k}$$
Podemos observar que o somatório agora dá a soma de uma P.G. finita, onde $a_1 = \alpha ^0 = 1$ e $ q = \frac{1}{\alpha}$
Então temos que: $$ y [n] = \alpha ^n \frac{1-{\frac{1}{\alpha}}^n}{1-\frac{1}{\alpha}} $$
\pagebreak
\newpage
%%$$y[n] = \frac{\alpha n - \alpha^{-n} \alpha ^n}{1 - \alpha ^{-1}$$

%% Código para o plot no MatLab
%% \begin{lstlisting}
 %%	dn = 0.1; n = 0:dn:10;
   %% alpha = 0.5;
  %%  y = alpha.^n/(1/alpha^(-1)) - 1/(1/alpha^(-1));
%%plot(n,y);
 %%\end{lstlisting}


\end{document}