\textbf{Trabalho de Sinais e Sistemas
Auteur:
João Paulo
Last Updated:
il y a 11 ans
License:
Creative Commons CC BY 4.0
Résumé:
Your abstract.
\begin
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\begin
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\documentclass[a4paper]{article}
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\title{\textbf{Trabalho de Sinais e Sistemas}}
\author{João Paulo Cavalcante de Vasconcelos - 36291}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Your abstract.
\end{abstract}
\section{\boldmath $\boldmath y(t) = x(t)*x(t-1)$ é Linear?}
Para que o sinal seja linear ele precisa obedecer a superposição (homogeniedade e aditividade)
Ou seja: $ \alpha _1 x_1(t) + \alpha _2 x_2(t) \rightarrow \alpha _1 y_1(t) \alpha _2 y_2(t)$
Considerando: $y_1(t) = x_1(t)*x_1(t-1)$ e $ y_2(t) = x_2(t)*x_2(t-1)$
Multiplicando por $\alpha$ e somando as equações, temos: $$\alpha _1 x_(t)\alpha _1x(t-1) + \alpha _2x_2(t)\alpha _2 x_2(t-1)$$ $$\alpha _1 ^2 x_1(t)x_1(t-1) + \alpha _2 ^2 x_2(t)x_2(t-1) =\alpha _1 ^2 y_1(t) + \alpha _2 ^2 y_2(t) \neq \alpha _1 y_1(t) + \alpha _2 y_2(t)$$
%%$$\alpha _1 ^2 y_1(t) + \alpha _2 ^2 y_2(t) \neq \alpha _1 y_1(t) + \alpha _2y_2(t)$$
\begin{center}
Logo, não é linear.
\end{center}
\section{Plotar o gráfico de convolução de \boldmath $\alpha ^n u[n] $ e \boldmath $u[n] $}
Seja: $h[n] = u[n]$ e $x[n]= \alpha ^n u[n]$
$$y[n] = x[n]*h[n]$$
$$y[n] = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} u[k]\alpha ^k u[n-k]$$
Analisando esse somatório observamos que seus limites podem ser simplificados para $k = 0$ até $k = n$, logo temos:
$$y [n] \sum_{k=0}^{n} \alpha ^{n-k} = \sum_{k=0}^{n} \alpha ^n \alpha^{-k} = \alpha ^n \sum_{k=0}^{n} \alpha ^{-k}$$
Podemos observar que o somatório agora dá a soma de uma P.G. finita, onde $a_1 = \alpha ^0 = 1$ e $ q = \frac{1}{\alpha}$
Então temos que: $$ y [n] = \alpha ^n \frac{1-{\frac{1}{\alpha}}^n}{1-\frac{1}{\alpha}} $$
\pagebreak
\newpage
%%$$y[n] = \frac{\alpha n - \alpha^{-n} \alpha ^n}{1 - \alpha ^{-1}$$
%% Código para o plot no MatLab
%% \begin{lstlisting}
%% dn = 0.1; n = 0:dn:10;
%% alpha = 0.5;
%% y = alpha.^n/(1/alpha^(-1)) - 1/(1/alpha^(-1));
%%plot(n,y);
%%\end{lstlisting}
\end{document}