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\title{Cálculo de momento de inercia de un cilindro solido y una esfera hueca}
\author{Ingrid Díaz}
\date{March 2015}
\begin{document}
\listoffigures
\maketitle
\section{Momento de inercia de un cilindro sólido}
Un cilindro sólido uniforme tiene un radio R, masa M y longitud L. Calcule su momento de inercia en torno a su eje central.
Para simular esta situacion, imagine que hace girar una lata de jugo congelado en torno a su eje central.
\begin{figure}[h]
\caption{Ejemplo de un cilindro rotando}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{cilindro_solido.jpg}
\centering
\end{figure}
Este ejemplo es un problema de sustitución, con el uso de la definición de momento de inercia. Se debe reducir el integrando a una sola variable.
Es conveniente dividir el cilindro en muchos cascarones cilindricos, cada uno con radio r, grosor dr y longitud L, como se muestra en la figura. La densidad del cilindro es $\rho.$
\begin{figure}[h]
\caption{Cálculo de $I$ en torno al eje z para un cilindro sólido uniforme.}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{cilindro_solido2.jpg}
\centering
\end{figure}
El volumen dV de cada cascaron es su area de seccion transversal multiplicada por su longitud: $dV = L dA = L(2\pi r) dr.$
Expresamos $dm$ en términos de $dr$ :
\begin{equation}
dm=\rho dV=2\pi \rho Lrdr
\end{equation}
Luego, sustituyendolo en la ecuación del momento de inercia:
\begin{equation}
I_z=\int r^2 dm=\int r^2\left ( 2\pi \rho Lrdr \right )=2\pi \rho L\int_{0}^{R}r^3dr=\frac{1}{2}\pi \rho LR^4
\end{equation}
Usamos el volumen total $\pi R^2$L del cilindro para expresar su densidad:
$\rho =\frac{M}{V}=\frac{M}{\pi R^2L}$
Sustituya este valor en la expresión para $I_z$:
\begin{equation}
I_z=\frac{1}{2}\pi \left ( \frac{M}{\pi R^2L} \right )LR^4=\frac{1}{2}MR^2
\end{equation}
El resultado para el momento de inercia de un cilindro no depende de L, la longitud del cilindro. Se aplica igualmente bien a un largo cilindro y a un disco plano que tengan los mismos masa M y radio R.
\section{Momento de inercia de una Esfera}
La expresion para el momento de inercia de una esfera puede hacerse asumiendo los momentos de discos delgados infinitesimales que giran sobre el eje z. El momento de inercia de uno de esos discos es (como vimos en el ejemplo anterior):
Considerando momentos de inercia de elementos de discos de grosor infinitesimales:
$dI=\frac{1}{2}y^2 dm$
expresando la masa $dm$ en terminos de la densidad $\rho$ y el volumen $dm$
$=\rho$ $dV$
Sustituyendo $dV$ en términos del area $\pi y^2$ y la altura $dz$ del disco
$dV=\pi y^2dz$
Encontrando a $y$ en términos de la variable de integración z: $y^2=R^2-z^2$.
\begin{figure}[h]
\caption{Integral de la esfera sólida de radio R, masa M y densidad $\rho =\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$}
\centering
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{esfera_solida.jpg}
\end{figure}
Luego, la integral se desarrolla efectuando una integración polinómica con $\left ( R^2-z^2 \right )^2=R^4-2R^2z^2+z^4$
\begin{equation}
I=\frac{1}{2}\rho \pi \int_{-R}^{R}y^4dz=\frac{1}{2}\rho \pi \int_{-R}^{R}\left ( R^2-z^2 \right )^2dz=\frac{8}{15}\rho \pi R^5
\end{equation}
Sustituyendo la densidad en la expresión anterior, nos queda:
\begin{equation}
I=\frac{8}{5}\left [ \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \right ]\pi R^5=\frac{2}{5}MR^2
\end{equation}
\end{document}